valumen rotacijskih teles

Stran 334 v matematičnem priročniku pravi:
Prostornina rotacijsko simteričnega telesa, ki nastane pri vrtenju krivulje okoli osi x:
V=pi*integral(y^2*dx) --> integriraš pa po osi x od začetka pa do konca krivulje (kjer te pač zanima volumen).

Ker imaš trikotnik, bi moral integral razdeliti na dva dela, a ker je enakostranični, sta oba integrala ista. Zato lahko zračunaš enega in ga pomnožiš z 2 pa imaš rezultat.

Predenj lahko začneš z integriranjem, moraš zapisati enačbo kraka trikotnika. To je navadna linearna funkcija.
pri x=0 je tudi y=0
pri x=a/2 je y=sqrt(3)*a/2 (višina enakostraničnega trikotnika)
k=(y2-y1)/(x2-x1)=sqrt(3)
y(x)=k*x+n (vzameš eno od zgornjih točk in ugotoviš, da je n=0)
Torej integriraš kvadrat funkcije y(x)=sqrt(3)*x v mejah od 0 do a/2.

V=2*pi*integral(3*x^2*dx)=6*pi*integral(x^2*dx)=6*pi*[(x^3)/3]_[v mejah od 0 do a/2]=
=(pi*a^3)/4

Upam, da se nisem kje v postopku zmotil... lahko pa seveda preveriš vse (bo bolje zate).

Če rabiš bolj enostavno rešitev, lahko rotacijsko telo razdeliš na dva stožca.
Volumen enega stožca: V=1/3*pi*r^2*višina
Ti imaš dva enaka strožca, kjer je r=sqrt(3)*a/2, višina=a/2.
V=1/3*pi*(3*(a^2)/4)*a/2=(pi*a^3)/8
Skupen volumen je volumen dveh stožcev:
Vskupen=2*V=(pi*a^3)/4 --> isti rezultat kot zgoraj, torej se nisem nikjer zmotil.
Lažje rešitve pa res ne poznam.